侠客论坛|藏经阁——《降奥十八法》(上卷)

侠客岛之家2018-06-10 08:22:49


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星星塘塘主,侠客岛之家公众号关注会员,高中和大学皆毕业于四校。长期从事中小学数学教育,市重点初中理科班任教经历,曾在沪上知名机构任教超常班。对中小学儿童数学教育有独到的见解。

奥数,是普通数学学科的难度升级版与广度拓展版。随着小升初竞争的愈演愈烈,奥数已被疯狂地”妖魔化”。早奥、跳奥、多奥,奥数犹如一只洪水猛兽,肆虐着家长们的心田。《降奥十八法》是小学奥数常用的十八种解题思想方法,若能熟练运用,奥数就是一只纸老虎。

 

一、归纳法

归纳,指归拢并使有(多用于抽象),也指一种推理方法,由一系列具体的出一般原理(跟“演绎”相对)。另外,数学中的所谓归纳,是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。小学阶段只需归纳出一般规律,无需证明。

【典型例题】

找规律,填字母: S M T(  ) T F S.

【解析】此题为日本幼升小试题,6个字母加上一个括号,应该联想到总数是7的事物。作为幼儿园的同学来说,总数是7应该联想到星期。没错!本题就是一周七天的英文首字母缩写,故括号中应该是Wensday的首字母W。

【评注】英语与奥数综合试题适应了上海作为国际化大都市的发展,中环杯四五年级英语竞赛中,有英语奥数试题。

二、等量代换的思想

等量代换的定义:用一种量(或一种量的一部分)来代替和它相等的另一种量(或另一种量的一部分)。“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替,它是数学中一种基本的思想方法,也是代数思想方法的基础,狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性:如果a=b,b=c,那么a=c。广义的等量代换举例来说就是:“如果李四是张三的同义词,张三是人,那么李四是人”。这个数学思想方法不仅有着广泛的应用,而且是今后进一步学习数学的基础,是一个非常重要的知识点,甚至到了大学都会使用。

【典型例题】

最近在网上疯传的一道等量代换的题目,是孙俪出给邓超的,邓超果然没有令粉丝们失望,粉丝们的数学优越感一时大增。


【解析】由第一个式子得,红花=20。代入第二个式子,可得五片花瓣的蓝花=5。代入第三个式子可得,两朵黄花=2,即一朵黄花=1。又由四片花瓣的蓝花=4,故最后的一个式子等于1+20×4=81

【评注】得出标准错误答案102的同学们,没有看清未知量之前的系数,第三个式子黄花有两朵,而最后一个式子蓝花的花瓣是四片。

三、整体思想

整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理。

【典型例题】

已知小明和小红的年龄和是22岁,小红和小方的年龄和是24岁,小方和小明的年龄和是26岁,求三人的年龄和。

【解析】我们将三个条件相加,得到三人年龄和的两倍为22+24+26=72岁。即三人的年龄和为72÷2=36岁。

【评注】此题用整体思想解出三人年龄和要比单个求出每个人的年龄要方便的多。

 

四、枚举与筛选

枚举法是对一种事物进行不重不漏一一列举的方法,我们称为枚举法。它必须遵循下列两个原则:(1)列举时不重复;(2)列举时不能遗漏,即要求将可能情况要逐个全部列举出来。

枚举时,其可能性可能非常多。因此我们把一种不断缩小枚举范围,从而尽快寻求解答的方法称之为筛选法。它必须遵循如下规则:确定范围,逐个试验,淘汰非解,寻求答案。

枚举与筛选合用,具有很大的优越性。筛选的关键是确定枚举的试验范围,同时在解题过程中不断缩小枚举范围,以便尽快求解。

【典型例题】

有些数,它们既可以表示成两个不同质数的和,也可以表示成两个不同质数的乘积,我们称这样的数是“侠客数”。求两位数中最大的“侠客数”。

【解析】本题所求的是最大值,故应该从最大的两位数开始枚举,并通过拆和与拆积进行筛选。99=9×11(排除),98=2×49(排除),97为质数(排除),96=2×48(排除),95=2+93(排除),94=2×47=5+89(正确)。故两位数中最大的“侠客数”为94。

【评注】枚举与筛选是小学奥数中非常重要的一种方法,不是每道题目都可以第一时间想到最简便巧妙的方法的。而在枚举与筛选的过程中,我们也可能会发现其它更好的方法。

五、分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件,每一种数学方法的使用也往往有其适用范围,在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究,还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的,这样字母的取值不同也会影响问题的解决,由上述几类问题可知,就其解题方法及转化手段而言都是一致的,即把所有研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的,称之为分类讨论思想。

【典型例题】

12个蓝精灵围着圆桌坐着,每个蓝精灵都讨厌与他为邻的2个蓝精灵,但不讨厌其余的9 个蓝精灵。蓝爸爸要派出一个由5个蓝精灵所组成的小队来营救被格格巫抓走的蓝妹妹,小队中不能有互相讨厌对方的人。则有多少种方法来组队?


【解析】分两种情况,选A和不选A。

(1)如果选A,则还需要从剩下的11个人中挑出4个人。把A选走后,这个圆圈就断开了,因此我们可以把圆圈拉成一条直线。11个人中有11-4=7个人不需要选,因此我们可以先把这7个人排好。7个人有6个间隔(两端不能放人,B点L点不能选),所以剩下的4个人有15种选法(6选4)。

(2)如果不选A,则还需要从剩下的11个人中挑出5个人。把A去掉后,这个圆圈就断开了,因此我们可以把圆圈拉成一条直线。11个人中有11-5=6个人不需要选,因此我们可以先把这6个人排好。6个人周围有有7个间隔可以放人(两端可以放,B点L点可以选),所以这5个人有21种选法(7选5)。

所以,总共有15+21=36(种)方法来组队。

【评注】此题为环形插空法,我们需要先选定一个点,令其转变成直线型插空法。故以A点为切入点,并按照选A与不选A进行分类讨论。

六、逐步调整法

逐步调整法,就是为了达到某个最优目标,先从某个起点出发,分别调整各个部分,使得每次调整都更接近目标。经过一些列的调整,达到并证明达到的确实就是目标。这是即含有哲理又富有逻辑性的一种解决问题的策略,适时地应用,可解决小学数学中比较复杂的最大值、最小值问题。

【典型例题】

数学家维纳是控制论的创始人。在他获得哈佛大学博士学位的授予仪式上,有人看他一脸稚气的样子,好奇地询问他的年龄。维纳的回答很有趣,他说:“我的年龄的立方是一个四位数,年龄的四次方是一个六位数,这两个数刚好把0~9这10个数字全都用上了,不重也不漏。”那么,维纳这一年多少岁?(注:数a的立方等于a×a×a,数a的四次方等于a×a×a×a)

【解析】此题的关键是他的年龄的立方是一个四位数,年龄的四次方是一个六位数,可估出其年龄大致范围。由于立方是四位数,10的立方=1000,20的立方=8000,30的立方=27000,25的立方=15625,22的立方=10648,21的立方=9261,用逐步逼近法先确定维纳的年龄范围在10-21之间。四次方是六位数,10的四次方=10000,20的四次方=160000,15的四次方=50625,17的四次方=83521,18的四次方=104976,所以年龄的范围进而确定在18到21之间,也就是他的年龄是18、19、20、21。然后再排除就可以。因为20、21它的立方和四次方尾数都相同,与题意相违,排除。19的四次方=130321,1和3重复出现,与题意相违,排除。所以,符合题意的只有18。

【评注】此题从四位数与六位数的范围出发,逐步调整得出年龄的范围,最后在小范围中排除不合题意的情况。

七、极限的思想

与一切科学的思想方法一样,思想也是社会实践的产物。 极限的思想可以追溯到古代,就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用;人的也蕴含了极限思想。小学阶段我们接触到的典型的极限思想为:圆面积公式的证明、零点九循环等于1。

【典型例题】

Points B,D , and J are midpoints of the sides of right triangle ACG .Points K, E, I are midpoints of the sides of triangle , etc. If the dividing and shading process is done 100 times (the first three are shown)and AC = CG = 6, then the total area of the shaded triangles is nearest

(A) 6 (B) 7(C) 8 (D) 9 (E) 10

【译文】点B、D、J是直角三角形ACG三边的中点。点K、E、I是三角形GDJ三边的中点。按此方法得到100个阴影三角形,(前三个阴影三角形已经画出)。AC=CG=6,求此100个阴影三角形的面积和最接近于下列哪个选项?

【解析】此题为美国1999年AMC-8最后一题。题中给出的100次操作,我们不可能全部在纸上画出来。我们可以“分层”来观察阴影部分和整体的关系。第一层梯形CDJA中,阴影三角形BCD占了梯形的三分之一。第二层梯形DEIJ中,阴影三角形DEK占了梯形的三分之一。依次类推,我们发现只要按照题目的操作方法,我们得到每一层的阴影部分面积是该层梯形面积的三分之一。但是我们将三角形ACG按层来分,最后变成若干个梯形和一个顶上的三角形(图中为GHF),而操作的次数越多,顶上的三角形面积越小。操作100次,顶上的三角形的面积几乎可以忽略不计了,而其它每层中阴影三角形面积都是该层梯形面积的三分之一。三角形ACG的面积为6×6÷2=18,故100个阴影三角形的面积和最接近18÷3=6,选A。

【评注】若无限操作下去,所得阴影部分的面积和为6。

八、特值法

特值法常用于填空题和选择题中,题中出现“任意”两字,即为使用特值法的信号,此时可以将条件改为特殊的、便于解答的情况。

【典型例题】

长方形ABCD的面积为36,E、F、G为各边中点,H为AD边上任意一点,问阴影部分面积是多少?



【解析】由于H为AD边上任意一点,找H的特殊点,把H点与A点重合(如上图),那么阴影部分的面积就是△AEF与△ADG的面积之和,而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD面积的八分之一和四分之一,所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的八分之三,即36×3÷8=13.5.

【评注】特值法对于小学阶段应试有独特的作用。

九、赋值思想

对于一些问题的抽象特征,我们可以赋予其具体的数,这样就变得更形象易懂。

【典型例题】

桌上放着七只杯子,杯口全朝上,每次翻转四个杯子。问能否经过若干次这样的翻动,使全部的杯子口都朝下?

【解析】当杯子口朝上时,记该杯子为0。当杯子口朝下时,记该杯子为1。开始时,由于七个杯子全朝上,所以这七个数的和为0,是一个偶数。接下来将证明,在每次翻转四个杯子后,虽然七个杯子所对应的七个数的和可能发生变化,但是这个和数的奇偶性却不会改变。这是因为,一个杯子每翻转一次,所记数为0变成1或由1变为0,改变了奇偶性。由于每次操作都翻转了四个杯子,所以在每次操作后,和数的奇偶性总共改变了四次,也就是奇偶性没有改变。这就表明,不论经过多少次翻转操作,这七个杯子所对应的和数的奇偶性永远不变,总是偶数。当杯子全部朝下时,这七个杯子对应的和数为7,是一个奇数。因此,不论经过多少次翻转,都不可能使所有的杯子口都朝下。

【评注】赋值思想在染色、奇偶论证题中有广泛的应用。


此乃《降奥十八法》中的前九法,欲知后九法如何,请关注本公众号,《降奥十八法》(下卷)敬请期待!

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