用极值估计证明不等式

高考数学左老师2018-06-19 14:58:33

刚写完,就有微信昵称为“杭飞驰”的童鞋问到下面这道题.



第(1)问分析:要看清题目要求,不是研究f(x)的零点个数,而是研究f'(x)的零点个数,审题要仔细.



我们前面谈到过,研究复杂函数的零点问题,可转化为两个基本函数的图象的交点问题.


下面,画出两个函数在正区间上的图象.因为反比例函数中a值的正负不确定,所以要分类讨论.


显然,当a=0时,f'(x)无零点.


当a<0时,图象如下.


显然,这种情况下,两个函数图象无交点,即f'(x)无零点.


当a>0时,图象如下.


在这种情况下,两个函数图象有一个交点,即f'(x)有1个零点.


下面来研究第(2)问.


观察所证的不等式,当然要求出函数的最小值.为此需要研究函数的单调性和极值,为此需要研究导函数f'(x)的零点,于是问题回到了第(1)问.


这是一道文科高考题,命题人为了降低思维难度,有意在第一问搭梯子,为第问的解决做好铺垫,创造条件.


因为a>0,所以零点是存在的.但是,零点是解不出来的.


下面研究单调性和极值.


函数只有一个极小值,无极大值,所以这个极小值也成为最小值.



比较上式与所证不等式的形式上的差异,我们考虑把指数部分和对数部分化简.


如何化简这两部分呢?


参照里的经验,我们把零点满足的方程当做条件,利用这个条件化简极值.


比较(3)式与所证不等式的差异,我们联想到基本不等式.



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